Fiche élève

Le but du TP est de dégager une méthode permettant de déterminer le comportement d'une fonction f en un point d'abscisse a de son ensemble de définition. On rappelle que, dans un repère du plan, le coefficient directeur d'une droite (AB) non parallèle à (Oy), avec A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est

On donne la fonction , (C) sa représentation graphique dans le repère .

1. On pose a = 0.

a. A l’aide de la calculatrice, représenter graphiquement la fonction f. Zoomer sur le point A(0 , f(0)). Répéter cette opération plusieurs fois : on constate que la courbe " se transforme en droite ".

b.On cherche à trouver l'équation réduite de la droite D₀ qui " se rapproche " le plus de la courbe (C) au point A.

i. Conjecturer sur la représentation graphique le coefficient directeur d0 de D₀. En utilisant la valeur de d₀ conjecturée, donner l’équation réduite de D₀. Tracer D₀ sur la calculatrice. Revenir à l’écran initial. Que remarque-t-on ?

ii. Essayons de dégager une méthode permettant de calculer d₀. Pour cela, on considère les droites Dx passant par A et un point M_x(x , f(x)) de (C). On note T0(x) le coefficient directeur de la droite (AM_x). On a donc

Exprimer et simplifier T0(x) en fonction de x. On fait varier x ; remplir le tableau ci-dessous :

Pour chaque valeur de x, tracer Dx en utilisant votre calculatrice.

Les droites obtenues correspondent-elles à la droite D₀ cherchée (on pourra zoomer) ?

Comment pourrait-on faire pour calculer d₀ à partir de la forme simplifiée de T₀(x) (avec x ¹  0) ?
On dit que d₀ est la limite de T0(x) en 0 (notation ). Calculer l'équation réduite de la droite D₀.

c. Montrer que, pour tout x Î  ,  £  4x2. Comment peut-on interpréter graphiquement ?

Le réel A₀(x) = - 1 -  x est appelé une approximation affine de la fonction f au point 0. Donner un encadrement de f(0,1) à l’aide de l’inégalité ci-dessus ; comparer avec la valeur de f(0,1) donnée par votre calculatrice à 10^{- 2} près par défaut. Faire de même avec f(-0,02) à 10^{- 4} près par défaut.

2. On pose a = 1 ; cherchons l'équation réduite de la droite D₁ qui " se rapproche " le plus de la courbe (C) au point B(1 , f(1)). Soit M_x(x , f(x)) ; on note T₁(x) et d₁ les coefficients directeurs des droites (BM_x) et D₁.

a. Calculatrice : zoomer sur le point B(1 , f(1)). Répéter cette opération plusieurs fois ; constater à nouveau que la courbe (C) " se transforme en droite ". Conjecturer sur la représentation graphique le coefficient directeur d₁ de D₁.

b. Calculs : calculer et simplifier T₁(x) pour x ¹  1, calculer d₁ = , puis l'équation réduite de la droite D₁. Tracer D₁ ; la droite tracée semble-t-elle correspondre à la droite cherchée ?

c. Donner une approximation affine A₁(x) de f(x) au point 1. Montrer que, pour tout x Î  ,  £  (x - 1)².

d. On pose x = 1 +  h. Exprimer A₁(1 +  h) en fonction de h, puis majorer pour |h| £  . En déduire que
f(1 + h) = f(1) +  d₁h +  he(h), avec .
Interpréter ce résultat graphiquement. Donner un encadrement de f(1,06). Comparer avec le résultat de la calculatrice.

Éléments de correction

1. a. Configuration logicielle :

• on utilise la fenêtre "ZoomDec" (les pixels en abscisses seront des décimaux, et on fixe les facteurs de zoom "SetFactors" à 10 (les pixels resteront des décimaux après le zoom).

• fenêtre initiale : on se place sur le point A(0 ; f(0)) par  F3  "0" (valider : noter l'" asymptote " parasite), puis on zoome ("ZoomIn") en restant sur ce point.

                              ZoomDec                                                  Zoom´ 10                                                    Zoom´ 100

• On constate que la courbure diminue : avec un facteur 1000, on obtient une " droite ", que l'on peut préciser en faisant afficher la grille ( ¨    F  "GRID" "ON"), en fixant "xres" à "1" dans "WINDOW" et en faisant afficher les points de la droite proches de A : ils sont pratiquement situés sur la grille.

   b. i. On a donc d₀ »  - 1. On trace la droite D₀  d'équation y = - x -  1 : elle est confondue avec la droite initiale sur l'écran Zoom´ 1000, puis après 3 zooms arrière ("ZoomOut"), on obtient une " tangente ".

       ii. Pour plus de commodités, on va stocker dans "CALC/HOME" la fonction f (saisie de "f(x)") et du coefficient directeur T₀(x) dans "t(x)" : on obtient les équations cherchées, puis on fait tracer les droites par le logiciel. On peut éventuellement automatiser le calcul en saisissant chaque fonction affine dans la fonction "d(a,x)" (tracé en pointillés par  F6  "Thick"), puis en affectant les valeurs de a dans une liste.

On constate que la droite D₀ correspond le mieux à l'idée que l'on peut se faire d'une " tangente ".

Le calcul de est classique … On obtient bien .

   c. On trouve , d'où le résultat, sachant que x +  1 ³  . Interprétation graphique ci-dessous, en traçant les deux droites d'équations y = -1 et x = - 0,2 ( F7  "Vertical", puis valider) : on obtient = MP, avec M(x , f(x)) et P(x , - 1 -  x).
Pour x = 0,1, puis x = - 0,02 on a - 1,14 £  f(0,1) £  - 1,06 et 0,9786 £  f(- 0,02) £  0,9816.

La calculatrice donne le résultat : f(0,1) =  - 1,08182 et  f(- 0,02) =  0,979184 (mode "FLOAT 6").

2. Idem en tout point ; on trouve A₁(x) = .

On a , d'où la majoration de l'erreur demandée, puisque 2(x + 1) ³  3.

En posant x = 1 +  h, on obtient A₁(1 +  h) = - 1 +, et f(1 +  h) -  =, d'où la majoration cherchée. En posant , on a , donc f(1 +  h) = f(1) +  d₁h +  he(h), avec .

L'interprétation graphique est la même que précédemment : on a |he(h)| = MP (voir ci-dessous, avec le logiciel GEOPLAN : un fichier plus complet interactif en ligne peut être consulté sur ce site).

Pour h = 6´ 10- ², on obtient 0,9688 £  f(1,06) £  0,9712. La calculatrice renvoie 0,969126 avec 6 chiffres significatifs.

Commentaires

1. Pré-requis :

• Equation réduite de droite : interprétation graphique du coefficient directeur.
• Courbe représentative d'une fonction.
• Techniques d'encadrement de quotients.

2. Analyse du problème et remarques diverses

Cette activité sert d'introduction au cours sur le nombre dérivé en classe de 1^re : elle permet de présenter pour la première fois aux élèves la notion de limite finie en un réel fini, de manière " intuitive ", mais " utile " , car la fonction n'est pas définie en x₀, alors que f est définie sur un intervalle ouvert contenant x₀ : à l'occasion de ce cours, les élèves abordent pour la première fois l'analyse infinitésimale.

La méthode est nouvelle : on raisonne au niveau local, alors que précédemment une fonction était étudiée globalement ; de plus on passe d'un mode de calcul exact à un mode approché, en acceptant de perdre de l'information pour gagner en simplicité (on se place " sur la droite " et non " sur la courbe "), tout en sachant " de combien on se trompe au maximum " ( majoration de l'erreur).

La fonction choisie dans cette activité est une fonction que les élèves ne savent pas étudier à ce moment de l'année de manière globale : il ne s'agit pas d'une fonction associée aux fonctions de référence (voir p. 73).

Une autre difficulté est le changement de variable x = x₀ +  h, qui présente un intérêt double : ramener le problème à une limite en 0 et obtenir une approximation affine plus simple. Les auteurs ont choisi de ne l'aborder que dans la question 2. d, en gardant dans les question précédentes la même variable pour les deux limites en 0 et 1, de manière à mettre l'accent sur l'idée suivante : remplacer " au voisinage " d'un point x₀ le réel f(x) par , où y =  est l'équation réduite de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse x₀, afin de renforcer l'idée visuelle donnée par le zoom d'introduction.

L'apport de l'outil informatique est ici appréciable : transformer la courbe en " droite " permet d'introduire la notion de tangente de manière très " naturelle " en reliant le coefficient directeur de la tangente avec la limite du taux de variation (x) en x₀. Les calculs des coefficients directeurs des sécantes peuvent être automatisés, ainsi que le calcul de (x), qui ne servira plus par la suite avec l'outil des fonctions dérivées : cela permet de mettre l'accent davantage sur le nouveau concept que sur les techniques de calculs. On illustre aussi de manière intéressante l'écriture f(x₀ +  h) = f(x₀) +  hf'(x₀) +he(h), avec .

Si on désire préparer les élèves de 1^re à la notion de limite en 0 avant d'aborder celle de nombre dérivé, on peut l'illustrer de manière géométrique par la fiche élève suivante :

Exercice :

       Étude géométrique :

Si x se rapproche de 0, (faire une nouvelle figure)

• alors B se rapproche de ............. et D se rapproche de ............., donc BD se rapproche de .............
• alors se rapproche d’un angle ..................et l’angle se rapproche d'un angle ...............,
  
• donc le rapport se rapproche de ......................car ................................

Étude numérique : on pose  = f(x)

1. Exprimer en fonction de x :

BC = ............................, BD =.............................. et f(x) =..............................

2. Remplir le tableau (on pourra utiliser les valeurs approchées données par la calculatrice) :

Si x se rapproche de 0, BD se rapproche de ........… et f(x) se rapproche de ........…..

3. Montrer que, pour tout x >  0, on a . Peut-on expliquer le résultat précédent avec cette formule ?

Compléments

La notion de limite telle qu'elle est présentée au lycée ne repose sur aucun fondement théorique, ce qui pose des problèmes pédagogiques considérables. On peut cependant relativiser cette difficulté lorsque l'on sait que les mathématiciens des 17^e et 18^e siècles ont utilisé cette notion avec une grande efficacité alors qu'elle n'a été théorisée qu'au 19^e siècle…

Un des implicites principaux au lycée de cette activité est l'unicité de la tangente (ou du développement limité d'ordre un) en un point où la fonction est dérivable, qui repose sur l'unicité de la limite en un point et peut s'énoncer de la manière suivante :

Proposition : Soit I un intervalle ouvert, x₀ un élément de I et f une fonction définie sur I. S'il existe une fonction affine g et une fonction e définies sur I telles que, pour tout x de I, f(x) = g(x) + (x -  x₀)e(x), avec , alors f est dérivable en x₀ et, pour tout x de I, on a
g(x) = f(x₀) +  f'(x₀)(x -  x₀).

Démonstration : f(x₀) = g(x₀), et, pour tout x Î  I -  {x₀}, on a = +  e(x). Sachant que g est affine, il existe deux réels a et b tels que ; on a donc , d'où . On en déduit que f est dérivable en x₀. Par unicité de la limite en x₀, on a f'(x₀) = a, d'où g(x) = f(x₀) +  f'(x₀)(x -  x₀).

La notion de continuité en un point (préalable logique à cette activité, voir note p. 83) est abordée seulement en terminale : on rappelle qu'une fonction dérivable en x₀ est continue en x₀, mais que la réciproque est fausse (voir par exemple la fonction prolongée par continuité en 0), et qu'il existe même des fonctions qui sont continues en tout point d'un intervalle et qui ne sont dérivables en aucun point de cet intervalle.

Une généralisation de cette activité est la notion de développement de Taylor-Young d'ordre n au voisinage de x₀, qui permet l'approximation locale de toute fonction n fois dérivable en x₀ par un polynôme d'ordre n au voisinage de x₀. On peut l'illustrer très facilement avec la calculatrice en traçant par exemple les développements limités d'ordre 3 et 5 de la fonction sinus au voisinage de 0 (voir ci-dessous) et en comparant les ordres de grandeur des erreurs commises avec les approximations obtenues.